Введення від’ємних чисел народами Китаю та Індії

Введення від’ємних чисел було зумовлене, в першу чергу, розвитком алгебри як науки, що дає загальні способи розв’язування арифметичних задач незалежно від вихідних числових даних. Від’ємні числа були необхідні вже при розв’язуванні задач, які зводяться до рівнянь першого степеня з однією змінною. Можливий від’ємний розв’язок у таких задачах можна пояснити прикладами протилежних величин (протилежно напрямлені вектори, температура, вища і нижча від нуля, майно — борг і т. д.).

Додатні і від’ємні кількості вперше в історії науки розрізняли в Китаї ще понад 2000 років тому. Уже у 8-й книзі збірника «Математика в дев’яти книгах» автори вільно користувалися від’ємними кількостями. У цій книжці є рівняння з від’ємними першими коефіцієнтами і вільними членами; тут же сформульовано правила додавання і віднімання від’ємних кількостей.

Додатні кількості в китайській математиці назвали «чен», від’ємні — «фу»; їх зображали різними кольора­ми: «чен» — червоним, «фу» — чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XIII ст., поки Лі Є не запропонував зручніше позначення від’ємних чисел — цифри, що зображали від’ємні числа, перекреслювали рискою навскіс справа наліво.

Символ типу а фігурує в китайській науці не тільки в різницях, зменшуване яких більше за від’ємник, а й як результат віднімання великої кількості від напевне меншої. Більше того, учені Китаю підійшли до найпростішого реального тлумачення від’ємних чисел, як це видно з 8-ої книги збірника «Математика в 9 книгах», в якій нестача грошей виражається числом «фу».

У V—VI ст. від’ємні числа поширюються в індійській математиці. В Індії від’ємні числа систематично застосовували і тлумачили в основному так само, як це ми робимо тепер.

Уже в творі Брамагупти «Перегляд системи Брами» (628 р.) ми читаємо: «Майно» і «майно» є «майно», сума двох «боргів» є «борг»; сума «майна» і нуля є «майно»; сума двох нулів є нуль… Борг, який віднімають від нуля, стає «майном», а «майно» — «боргом». Якщо треба відняти «майно» від «боргу», а «борг» від «майна», то беруть їх суму…».

Від’ємними числами індійські математики користувалися під час розв’язування рівнянь, причому віднімання замінювали додаванням до рівного й протилежного числа. Про те, як індійські вчені відкрили від’ємні числа, достовірно ми нічого не знаємо.

Слід зазначити, що основною особливістю індійської математики є переважання обчислювальних прийомів, які давалися в догматичній формі.

Розв’язуючи задачі на рух, виграш і. програш та інші, індійці, очевидно, на досвіді переконалися в зручності від’ємних чисел. Так, у творі видатного індійського математика й астронома Аріабхати І (476—бл. 550) подано розв’язування задачі, в якій йдеться про «момент зустрічі в минулому і майбутньому».

Проте, запровадивши від’ємні числа, індійські математики вважали їх не рівноправними елементами математики, а чимось подібним до логічних можливостей, бо, за висловом індійського математика Бхаскари, люди з ними не згодні.

Таким чином, при розв’язуванні алгебраїчних рівнянь математики зустрілися з від’ємними величинами, але почали вважати їх об’єктивними поняттями тільки тоді, коли реально розтлумачили.

Джерело: О. І. Бородін. Історія розвитку поняття про число і системи числення.

Розвиток поняття паралельності та перпендикулярності прямих в геометрії

Читай, і ти дізнаєшся багато нового та цікавого (підготувала група «Історики», 7-Б клас)

           

            Термін «аксіома» в перекладі з грецької означає «увага, авторитет». Його вперше застосував Арістотель.  Аксіоми настільки прості, що не виникає питання необхідності їх доведення.  Аксіоми також називали постулатами. Весь набір аксіом називають аксіоматикою.

            Історики вважають, що першим познайомив греків з геометрією Фалес Мілетський. Його вчення розвили Піфагор, Платон, Арістотель.

            Аксіоматичний погляд на математику вперше зустрічається у давньогрецького вченого Евкліда в книгах «Начала».

            Евклід – давньогрецький вчений, який жив біля 300 років до н.е. Світу він відомий завдяки твору з основ математики, який називається «Начала» («Початки»).  Про Евкліда відомо небагато: родом з Афін, був учнем Платона, скромний, незалежний, з м’яким характером. Але його «Начала» були настільки авторитетні та популярні, що в англійських школах і тепер геометрію вивчають за деякими з цих книг. З книги Евкліда почалась дедуктивна будова геометрії – з аксіом і основних понять будують означення, що доводять теореми.

            Евклідова геометрія побудована на базі аксіом абсолютної геометрії та аксіоми Евкліда про паралельні прямі.

            Але через віки російський математик М.І. Лобачевський наважився сформулювати протилежне твердження, яке дало поштовх зародженню і розвитку нової «неевклідової» геометрії.

            М.І. Лобачевський (народився 20 листопада 1792 року в місті Нижній Новгород) – відомий російський математик, творець неевклідової геометрії, діяч університетської освіти та народної просвіти. Відомий англійський математик Вільям Кіффорд назвав Лобачевського «Коперником геометрії». Він був професором Казанського університету.

            У 1835-1838 роках Лобачевський публікує у «Вчених записках» статті про «уявну геометрію», а потім виходить найповніша з його праць «Нові початки геометрії з повною теорією паралельних прямих». Не знайшовши розуміння на батьківщині, він намагається знайти однодумців за кордоном. Один екземпляр праці отримує К. Гаус, «король математики» тих часів, який рекомендує обрати Лобачевського  іноземним членом-кореспондентом Геттинського королівського товариства, яке відбулося в 1842 році.

            Лобачевський не був єдиним дослідником у цій новій області математики. Угорський математик Янош Бояї незалежно від Лобачевського у 1832 році опублікував свій опис неевклідової геометрії.

            Лобачевський помер невизнаним. Через декілька десятиріч ситуація в науці докорінно змінилась. Велику роль у визнанні праць Лобачевського відіграли дослідження Е. Бельтрамі (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) та інших. Поява моделі Клейна довела, що геометрія Лобачевського також несуперечлива, як і евклідова. Усвідомлення того, що у евклідової геометрії є повноцінна альтернатива, справила велике враження на науковий світ і надала імпульс іншим новаторським ідеям в математиці і фізиці.

ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ

         Натуральні числа – це числа, які використовуються для лічби предметів. Але людині доводиться не тільки рахувати предмети, а й вимірювати величини. З розвитком сільськогосподарської діяльності в прадавніх людей виникла потреба вимірювати довжини, площі земельних ділянок, об’єми і маси тіл. При цьому траплялося, що одиниця вимірювання не укладалася ціле число разів у величину, що вимірюють. Наприклад, вимірюючи довжину ділянки кроками, людина стикалася з такою ситуацією : у довжині вкладалося десять кроків і залишок становив менше, ніж один крок. Або під час ділення здобичі на полюванні виявлялося, що здобич не ділиться націло на кількість мисливців.              У зв’язку з такою повсякденною діяльністю люди почали вживати вирази:  половина, третина, чверть тощо. Отже, дробові числа виникли як результат практичної діяльності людей вимірювання величин.                                                        Деякі звичайні дроби були відомі вже стародавнім єгиптянам. Вони використовували дроби переважно з чисельником 1.                                                  Сучасну систему запису дробів з чисельником і знаменником створили в Індії. Тільки там писали знаменник зверху, а чисельник – знизу, і без дробової риски. А записувати дроби так, як ми робимо це сьогодні, почали араби.                 У Європі вперше цей термін вжив Леонардо Пізанський (1202).Спочатку європейські математики оперували тільки зі звичайними дробами. Повноцінна теорія звичайних дробів і дій з ними склалася в XVI столітті, завдяки італійському ученому Ніколо Тарталья і німецькому математику Клавіусу.                 Український термін дріб, як і його аналоги в інших мовах, походить від лат. fractura,  який, у свою чергу, є перекладом арабського терміна з тим же значенням : ламати, роздробляти.                                                                             У Стародавній Русі дроби називали частками, або ламаними числами. Термін дріб, як аналог латинського fractura , уперше застосовано в «Арифметиці» Л. Магницького (1703) як для звичайних, так і для десяткових дробів.